Rede Agronomia

Rede dos Engenheiros Agrônomos do Brasil

Por motivo do Dia Mundial do Meio Ambiente, comemorado hoje, dia 5 de Junho, eu abro este tópico para reunir algumas soluções matemáticas de problemas ligados ao meio ambiente. São extratos das minhas leituras e anotações, e visam servir de 'formulário' para quando se fizer necessário. Convido os colegas a colaborar com outros exemplos, que poderão nos ajudar em diversas áreas da Agronomia, estando o Licenciamento Ambiental na cabeça da lista. Por motivos óbvios, darei destaque nas soluções ao software (gratuito) R, ao qual já me referi em vários momentos e ocasiões aqui na Rede Agronomia.  

Mãos à obra.

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Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 7 novembro 2018 às 16:21

VAZÃO DE OUTORGA Q7,10

Uma das vazões de referência para a estimativa de vazões mínimas é a Q7,10, que é a vazão de sete dias de duração com dez anos de recorrência. Fixou-se a duração de sete dias porque deste modo tem-se um intervalo de tempo que abrange as variações de consumo de dias úteis e finais de semana, possibilitando que os reservatórios absorvam os impactos das variações ocorridas durante a semana. Já o tempo de retorno foi definido como sendo de dez anos pois representa uma probabilidade de 10% de que a vazão fique abaixo do valor mínimo, o que julgou-se aceitável (Mendes, 2007).(*)

Para o cálculo da Q7,10 é recomendada a obtenção de séries históricas com pelo menos trinta anos de registros de vazões diárias. Da Silva et al. (2006) destaca que os modelos de probabilidade Gumbel e Log-normal a 3 parâmetros se mostraram adequados aos dados de vazões mínima diária anual e mínima média de 7 dias, mas o modelo Log-normal 3 parâmetros produziu ajustes de melhor qualidade.

A Figura abaixo apresenta uma planilha com os cálculos da Vazão Q7,10 para um Posto Fluviométrico citado no TCC de Ludmilson A. Mendes, intitulado "Análise dos Critérios de Outorga de Direito de Usos Consuntivos dos Recursos Hídricos Baseados em Vazões Mínimas e em Vazões de Permanência", apresentado à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção do título de Mestre em Engenharia, no ano de 2007.

A vazão Q90%

A curva de permanência para cada posto fluviométrico pode ser construída organizando todos os registros de vazão diária em ordem decrescente. Assim, pode-se dizer que o valor máximo teve probabilidade de ser igualado ou superado igual ao inverso do número de registros. Seguindo assim, a cada registro é atribuída a probabilidade de excedência, formando a curva de permanência. As curvas de permanência relacionam a vazão com a porcentagem de tempo em que ela é igualada ou superada.

A Q90% é uma vazão de permanência, ou seja, reflete a vazão que é igualada ou superada 90% do tempo. A determinação de vazões de permanência também é feita a partir de registros de vazão diária e é preferível que se tenha uma série histórica representativa e com a menor ocorrência de falhas possível (Mendes, 2007).

Cálculo da vazão Q7,10

Para o cálculo da Q7,10, primeiramente calculou-se a mínima vazão média em 7 dias consecutivos para cada ano da série histórica de vazões de cada estação fluviométrica. A média móvel foi calculada utilizando os valores de vazão do dia, dos três dias anteriores e dos três dias diretamente posteriores, totalizando os 7 dias necessários para o cálculo da média. Encontrou-se então o menor valor para cada ano.

Organizando os valores mínimos em ordem crescente, pode-se calcular a frequência cumulativa destes valores. Como apresentado por Collischonn e Dornelles (2013), a frequência cumulativa pode ser calculada ordenando de forma crescente os valores mínimos. Com os valores assim, a probabilidade de ocorrência de vazões iguais ou menores pode ser calculada com base na metodologia de Weibull através da equação 4.1.

P = m/(N+1)                                                                                                                                          (4.1)

em que P é a probabilidade empírica de ocorrência de vazões iguais ou menores, N é o número de anos da série histórica utilizados no cálculo da vazão de referência Q7,10 e m é a posição da vazão no ordenamento crescente de vazões mínimas (para a menor vazão m=1 e para a maior vazão m=N).

O tempo de retorno de uma vazão mínima é o tempo médio que se passa entre duas ocorrências subsequentes de uma vazão igual ou menor (Collischon e Dornelles, 2013).

Ainda, o tempo de retorno é o inverso da frequência cumulativa de cada valor.

(*)REGIONALIZAÇÃO DE VAZÕES Q7,10, Q90% E Q50% NA BACIA HIDROGRÁFICA DO RIO IBICUÍ (SUB-BACIA 76), Amália K., Porto Alegre, 2015.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 2 novembro 2018 às 9:00

COMPARAÇÃO DE MÉDIAS COM TAMANHOS DIFERENTES

Ao nível de 5%, testar se a média de idade do grupo 1 é maior do que a do grupo 2, sabendo-se que o tamanho das duas amostras é diferente.

Fonte: Essentials of Statistics, pág. 451.

A Figura abaixo apresenta a programação em R dos grupos x1 e x2, com os cálculos dos comprimentos, médias, desvios padrão, valores e teste t, além da margem de erro, limites e gráfico de caixa, que mostra Medianas (linhas grossas horizontais) iguais e Médias (sinais de "+") diferentes.

Conclusão: como valor-p (0,055) > α (0,050), aceita-se Ho: μ1 = μ2.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 27 outubro 2018 às 14:28

INFERÊNCIA PARA A MÉDIA EM COMPRIMIDOS

Uma indústria farmacêutica produz comprimidos de um antiácido por dia. Este medicamento é produzido com a especificação de que teor médio de carbonato de sódio em cada comprimido seja igual a 400 mg. O órgão responsável pela fiscalização de medicamentos selecionou ao acaso e analisou uma amostra de 20 comprimidos entre os comprimidos produzidos pela empresa, encontrando os seguintes valores listados em x na Figura abaixo.

  1. a) Ao nível de significância de 5% verifique se há evidências de que o teor médio de carbonato de sódio dos comprimidos produzidos pela empresa é diferente do especificado.
  2. b) Construa também um intervalo de 95% de confiança para o teor médio de carbonato de cálcio dos comprimidos fabricados pela empresa?

Fonte: Bioestatística Básica Usando o Ambiente Computacional R, Ribeiro A.J.F. e auxs., UFMG, pág. 126/177.

Conclusão: como o valor-p (0,25) > α (0,05), aceitamos a hipótese nula (Ho: μ = 400) e conclui-se que não há evidências de que o teor médio do sal indicado seja diferente do especificado.

A Figura abaixo atende ao quesito 2 da pergunta, que sugere um intervalo para o teor de Carbonato de Cálcio nos comprimidos. Adotou-se o critério de 1,5 vezes o Desvio padrão, para menos e para mais, resultando nos limites de 383 e 417 mg.

A Figura abaixo apresenta o gráfico de caixa dos dados amostrais. Pelo fato da Média ("+") praticamente se confundir com a Mediana (traço grosso horizontal) e esta estar no centro da distribuição, supõe-se tratar-se de uma Distribuição Normal.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 16 outubro 2018 às 9:59

ESTIMATIVA DO TAMANHO DA AMOSTRA

Uma rotina curta, simples, mas muito útil em Estatística, quando queremos determinar o tamanho de uma dada amostra, é apresentada abaixo.

Queremos saber quantas casas devem ser pesquisadas, com 95% de confiança e margem de erro inferior a 4%, para estimar o uso de e-mail como correspondência. Uma pesquisa anterior estimou esse número em 16,9%.

Solução:

Os dados de entrada são: p = 0,169 = proporção da população; q = 1 - p (inverso) = 0,831; z = 1,96 (para 95% de confiança); E = 0,04 = 4% (margem de erro).

O resultado, calculado com o R, foi 338 casas.

No exemplo mostrado na Figura abaixo, apresentamos a estatística de 123 acertos em 280 tentativas. A fonte foi Essentials of Statistics, pág. 307.

Legenda:

p = proporção da população (%); q = proporção de falhas na amostra (%); n = número de tentativas.

Vale observar que a margem de erro foi deduzida da equação destacada na Figura acima, ou seja, E = z*√(p*q)/n. Interessante guardar, ainda, que quando a relação n*p e n*q => 5, a distribuição é Normal.

A Figura abaixo apresenta um terceiro exemplo de proporção. De 71 indivíduos, 70% estavam abstinentes do fumo há 8 semanas. Use este dado para calcular a estimativa p^ e a margem de erro E. Adote um índice de confiança de IC = 95%. A fonte é a mesma anterior (pág. 310).

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 15 outubro 2018 às 9:43

TESTE PARA DADOS TABULARES

Deseja-se saber a relação entre o consumo de cafeína e o estatus marital. Para tal, aplicou-se o Teste do Qui quadrado de Pearson. Fonte: Introductory Statistics, pág. 162/370.

Conclusão: como valor-p (2*10^-9) < α (0,05), rejeita-se Ho (hipótese nula) de igualdade do consumo de café entre os vários estados civis. Pelo gráfico, conclui-se que o maior consumo fica entre os casados (faixa de 1 a 150 mg).

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 8 outubro 2018 às 11:47

COMPARAÇÃO DE TRÊS MÉDIAS COM O TESTE DE MENU

Uma franquia de fast-food procedeu a uma pesquisa de mercado com 3 novos itens de menu. Para descobrir se eles tinham a mesma popularidade (Ho: μ1 = μ2 = μ3), 18 restaurantes franqueados foram escolhidos aleatoriamente para participarem do estudo. De acordo com o Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC), 6 restaurantes foram escolhidos para testarem o 1o. item; 6 para o 2o. item e 6 para o último item. Os dados mostrados na Figura 1 abaixo foram o resultado da venda dos 3 novos itens de menu nos 18 restaurantes, após uma semana de testes. Verificar se o volume de vendas médio para os 3 novos itens de menu são iguais, ao nível de 5%. Fonte: www.r-tutor.com/elementary-statistics/analysis-variance.

Conclusão: como o valor-p (0.112) > α (0.05), não podemos rejeitar a hipótese nula de igualdade entre as Médias (sinal de "+" no gráfico de caixa) dos 3 itens de menu.

Embora matematicamente (médias 40, 36 e 25) e graficamente (posição vertical dos 3 "+" no box-plot) tenhamos a impressão que as três médias são estatisticamente diferentes, dois testes nos provaram o contrário. Parodiando os repórteres da TV Globo ao anunciarem os resultados da última pesquisa Ibope de intenções de voto para Presidente da República, "os três candidatos (no caso os itens de menu) estão tecnicamente empatados dentro da margem de erro de 5%".

A Figura abaixo é a aplicação de outro teste para confirmar se, estatisticamente, as médias dos 3 itens de menu podem, de fato, serem consideradas iguais. Observe que o valor-p foi o mesmo do encontrado na Análise de Variância (AOV).

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 28 setembro 2018 às 9:39

ÍNDICE DE SHANNON WIENER

Há vários modos de medir a diversidade biológica das comunidades. O meio mais simples é contar o número de espécies presentes. Isto se faz com a "riqueza de espécies" ou simplesmente "S". Porém este método significa que duas comunidades muito diferentes apresentem o mesmo número, uma vez que se ignora tanto a identificação das espécies, quanto a sua abundância. Por exemplo, veja a tabela abaixo. Usando a riqueza de espécies, ambas as comunidades apresentam o mesmo valor: S = 5 (número de espécies).

Quando queremos considerar, também, as diferenças em abundância de cada espécie, usamos o Índice de Diversidade Shannon-Wiener ou simplesmente H', onde pi = abundância relativa da espécie "i". Este índice costuma variar entre 1,5 a 3,5 e raramente ultrapassa o valor 5, sendo sensível à espécies raras, ou seja, quanto maior a percentagem de raras, menor o valor de H'.

Conclusão: como H'1 = 0,99 < H'2 = 1,61, concluímos que a Comunidade 2 é mais biodiversa que a Comunidade 1. Observe que os valores calculados do Índice de Shannon foram os mesmos, tanto com a aplicação da equação como com o pacote do R.

A Figura abaixo mostra outra versão para a solução do problema no R, com o uso do pacote pgirmess, que calcula os índices H e J para cada uma das comunidades. O símbolo J se chama Ìndice de Equabilidade de Pielou e vale: J = H'/Hmáx.

Neste caso, também foi confirmado o resultado anterior. Como H'2 = 2,32 > H'1 = 1,43, conclui-se que a Comunidade 2 tem maior biodiversidade que a Comunidade 1.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 27 setembro 2018 às 9:07

ANTÍGENOS A E B

Na tentativa de selecionar um antígeno identificador da Esquistossomose (ou seja, aquele que injetado subcutaneamente em pacientes infectados naturalmente, revelam uma área de reação epidérmica maior), foram testados dois antígenos A e B (x e y no R) em 11 pacientes, um em cada braço e, após oito minutos, a área de reação epidérmica foi medida, em cm². Testar se as Médias dos 2 antígenos é igual (Ho: μA = μB).

Fonte: Bioestatística.pdf, pág.9/50.

Conclusão: como o valor-p (1) > α (0.05) aceita-se a hipótese nula de igualdade dos antígenos.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 25 setembro 2018 às 9:29

ACIDENTES DO TRABALHO EM INDÚSTRIA

A Associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas de uma dada região, está preocupada com o tempo perdido em acidentes do trabalho, cuja média, nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem.ano, com desvio padrão de 20 hs/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes e, após o mesmo, tomou-se uma amostra de 9 indústrias e mediu-se o número de horas/homem perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você diria, ao nível de 5%, que houve evidência de melhoria ?

A Figura abaixo mostra os cálculos no R, lembrando tratar-se de um teste para a Média de uma população, quando se conhece o valor do desvio padrão.

Conclusão: como z_calc.(-1,50) < z_tab.(-1,65), aceita-se a hipótese nula (Ho: μ = 60 horas/homem) e, em consequência, rejeita-se a hipótese alternativa (Ha: μ < 60 hs/homens). Logo, a campanha não deu resultados satisfatórios.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 24 setembro 2018 às 16:33

ACIDENTES COM MOTOS

A Figura abaixo mostra um quadro resumo com os dados de uma pesquisa para verificar se há influência da cor da moto sobre o número de acidentes registrados em dado período de tempo. Esse quadro chama-se Tabela de Contingência, e a solução envolve a estatística do Qui Quadrado. Fonte: Essentials of Statistics.pdf, pág. 568.

A Figura abaixo apresenta a solução no R usando o Teste de Fisher e, em seguida, o Teste de Pearson. No primeiro, usa-se o valor-p < α e, no segundo, além do valor-p muito próximo do encontrado no teste anterior, usaram-se os valores do Qui-Quadrado calculados e tabelados (localizados na área de rejeição).

Conclusão: como o valor-p (0,01) < α (0,05), rejeita-se a hipótese nula (Ho: linhas = coluna), ou seja, os valores das linhas e das colunas são independentes. Portanto, a cor das motos não influi no número de acidentes.

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