Rede Agronomia

Rede dos Engenheiros Agrônomos do Brasil

Por motivo do Dia Mundial do Meio Ambiente, comemorado hoje, dia 5 de Junho, eu abro este tópico para reunir algumas soluções matemáticas de problemas ligados ao meio ambiente. São extratos das minhas leituras e anotações, e visam servir de 'formulário' para quando se fizer necessário. Convido os colegas a colaborar com outros exemplos, que poderão nos ajudar em diversas áreas da Agronomia, estando o Licenciamento Ambiental na cabeça da lista. Por motivos óbvios, darei destaque nas soluções ao software (gratuito) R, ao qual já me referi em vários momentos e ocasiões aqui na Rede Agronomia.  

Mãos à obra.

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Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 21 setembro 2018 às 11:26

TEMPERATURAS

A Figura abaixo apresenta dados de temperatura atuais e de suas previsões, feitas 5 dias antes. As hipóteses são: Nula = Ho: μd = 0 e Alternativa = H1: μd ≠ 0. Testar ao nível de 95% de confiança.

Fonte: Essentials of Statistics.pdf, pág. 465.

Conclusão: como valor-p (0.69) > α (0.05), aceita-se Ho, ou seja, as previsões foram confirmadas, ao nível de 5%.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 20 setembro 2018 às 18:15

SORVETE COM SALMONELA

Um surto de doenças relacionadas com (a bactéria) Salmonela foi atribuído ao sorvete produzido em uma determinada fábrica. Os cientistas mediram o nível de Salmonela em 9 lotes aleatoriamente amostrados de sorvete. Os níveis de contaminação (em número mais provável por grama ou NMP/g) são os indicados na variável x mostrados no console do R. Existe evidência que o nível médio de Salmonela no sorvete seja superior a 0,3 NMP/g ?

Fonte: R2.pdf, pág.2/4.

Trata-se do Teste t com uma amostra, quando o desvio padrão (σ) da população é desconhecido.

Conclusão: como o valor-p (0,029) < α (0,05), rejeita-se a hipótese nula que diz que a média da amostra é igual ao limite de 0,3 NMP/g, portanto, existe evidências de que o nível de Salmonela está acima do valor máximo permitido pela Saúde Pública.

A Figura abaixo mostra dois gráficos com os dados amostrais. O da esquerda, o gráfico de caixa, tem o valor médio representado por uma "+", e o da direita (gráfico de dispersão), a mesma média é representada por uma linha pontilhada.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 18 setembro 2018 às 18:59

MEDIÇÃO DE RESISTÊNCIA DE CONCRETO

As resistências de 2 tipos de concreto foram medidas. Fixado um nível de significância de 5%, existe evidência de que o concreto tipo A seja mais resistente do que o concreto tipo B ? Fonte: apostilha de Estatística baixada da Internet.

Conclusão:  no teste t de Welch para duas amostras, como o valor-p (0,12) > α (0,05), aceitamos a hipótese nula (Ho: μA = μB), ou seja, as resistências dos 2 tipos de concreto são equivalentes.

A Figura abaixo mostra o gráfico de caixas com os dados amostrais das resistências dos dois tipos de concreto. Apesar de visualmente o concreto tipo A pareça ser melhor que o tipo B, a diferença das suas médias (55 > 53) não foi suficiente, ao nível de 5%, para considerá-los diferentes quanto aos seus desempenhos.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 18 setembro 2018 às 11:23

NICOTINA EM CIGARRO

Testar ao nível de 1% se a média de Nicotina em cigarros é superior a 40 mg, de uma amostra de 10 medições tomadas aleatoriamente. A hipótese nula é: Ho: μ = 40 mg e a alternativa é: Ha: μ > 40 mg.

Fonte: Essentials of Statistics, pág. 427.

Conclusão: como valor-p (0,0113) > α (0,01), aceita-se Ho, ou seja, ao nível de 1% de confiança, não há evidências suficientes para afirmar que o nível de Nicotina é superior a 40 mg.

A Figura abaixo chega à mesma conclusão, usando a fórmula do teste t para uma amostra, considerando uma população normal e desvio padrão da população (σ) desconhecida. Vê-se pela Curva Normal, que o valor t calculado não caiu na área de rejeição (área à direita sombreada com azul claro) e, portanto, aceita-se a hipótese nula de igualdade.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 17 setembro 2018 às 9:03

TESTE PARA PROPORÇÃO SIMPLES

Foi feito um estudo com 215 pessoas, com diagnóstico de asma em 39 delas. Testar se para esta amostra, a proporção de pessoas com asma é significativamente diferente de 15%.

Fonte: Aprendendo_r.pdf, pág. 160/224.

Os testes para comparar proporções simples (ou seja, uma proporção conhecida contra a proporção de uma amostra) são feitos a partir da Distribuição Binomial. Pode-se usar tanto uma aproximação pela Distribuição Normal, para um tamanho de amostra suficientemente grande ou, então, usar um teste exato, baseado na própria Binomial.

A Figura abaixo mostra a captura de tela do console do R, com o resultado do Teste z de Uma Proporção.

Conclusão: como o valor-p (0,23) > α (0,05), aceitamos a hipótese nula (Ho: p^ = po), ou seja, a proporção de 39/215=0,181=~18% não é significativamente diferente do que a de 15% com 95% de confiança. O cálculo de z confrontado com o da tabela, confirma o resultado, pela Curva Normal.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 16 setembro 2018 às 18:01

DIFERENÇA ENTRE PROPORÇÕES

Em uma pesquisa de opinião, 32 dentre 80 homens declararam apreciar certa revista, acontecendo o mesmo com 26 dentre 50 mulheres. Ao nível de 5% de significância, os homens e as mulheres apreciam igualmente a revista ? Fonte: apostilha baixada na Internet.

A Figura abaixo mostra duas soluções para o mesmo problema, usando o software R.

Conclusão: no primeiro caso, da curva, como o valor de z calculado (- 1,34) ficou fora da área de rejeição, aceita-se a hipótese nula (Ho: p1 = p2) de igualdade entre as preferências de homens e mulheres. No segundo caso, do teste de proporções, como o valor-p (1) > α (0,05), também rejeitamos a hipótese alternativa e ficamos (com a hipótese nula) de igualdade de opiniões entre homens e mulheres.

A Figura abaixo mostra outra forma de comparação das proporções de duas amostras, com o R.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 13 setembro 2018 às 14:42

RESISTÊNCIA DE MÁQUINAS

Quer-se verificar se duas máquinas produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão. Para tal, foram sorteadas duas amostras de 6 peças de cada uma das máquinas e mediram-se as resistências. A fonte foi uma apostilha de Estatística baixada da rede. Em Estatística, trata-se de duas amostras independentes, e a solução do problema será buscada através de 2 testes: Teste de Bartlett (para homogeneidade de Variâncias) e teste t.

A Figura abaixo mostra um print-screen do console do R, com os 2 testes, e a programação do gráfico de caixas, onde foram introduzidos ("+") os valores médios das medições, seguida do respectivo desenho.

Conclusão: no teste Bartlett, como o valor-p (0,93) > α (0,05), aceita-se a hipótese nula (Ho: var_x = var_y); o mesmo acontece com o teste t, onde p (0,56) > α (0,05), ou seja, as máquinas não produzem peças com a mesma homogeneidade quanto à resistência à tensão.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 13 setembro 2018 às 10:08

PESO DE ÁRVORES

A Figura abaixo resume os dados de uma pesquisa com o peso de árvores (Álamos), em quilos (kg), com 3 tratamentos. Pede-se verificar se existe(m) diferença(s) entre os tratamentos, ao nível de 95% de probabilidade, usando a Análise de Variâncias (ANOVA). A unidade de medida não foi esclarecida mas, como se trata de árvores, supõe-se que seja o peso de um dado volume de folhas das mesmas, p.ex. Fonte: Essentials of Statistics, pág. 586.

Conclusão: como Fcalc (5,7) > Ftab (3,1) (*) rejeita-se a hipótese nula (Ho: t1 = t2 = t3), ou seja, existe(m) diferença(s) entre os tratamentos. Isso se confirma com o fato do valor-p (0,007) < α (0,05).

(*) obtido com o comando do R: qf(0.95,3,20) onde 0.95 é o grau de confiança, 3 é o número de tratamentos e 20 é o número de dados, incluindo o Sem tratamento. O resultado é: 3.098391.

A Figura abaixo resume o Quadro da Análise de Variâncias (ANOVA), obtido com o R.

A Figura abaixo mostra a representação gráfica (boxplot) dos resultados, feita com o software R. Por ela conclui-se que o tratamento com irrigação foi superior àquele em que se utilizava só o fertilizante. Entretanto, o melhor tratamento foi o que combinou a adubação com a água. Observe que o valor médio do tratamento (1,3 kg/árvore) foi bem superior aos demais, que não atingiram sequer 0,5 kg/árvore.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 12 setembro 2018 às 11:17

PRODUTIVIDADE DE MÁQUINAS

Queremos estudar a produtividade de vários tipos de máquinas e a satisfação dos seus operadores no uso das mesmas, ao nível de 95% de confiança. A Figura abaixo mostra o projeto no R, com a aplicação do Teste de Correlação de Spearman e o resultado gráfico.

Fonte: www.r-bloggers.com/non-parametric-methods-for-the-st.

Conclusão: como valor-p (0.75) > α (0.05), rejeitamos a hipótese nula, ou seja, o parâmetro 'rho' (ρ) de Spearman é diferente de zero. Ele vale 0,115 o que indica uma baixa correlação entre as duas séries de valores.

A Figura abaixo apresenta os gráficos de caixa com os valores que correspondem à Produtividade e Satisfação no uso das máquinas. Os sinais de "+" indicam os valores das respectivas Médias, que são 7 para a Produtividade e 6 para a Satisfação.

Comentário de JOSÉ LUIZ VIANA DO COUTO em 11 setembro 2018 às 19:36

SAPOS E AMBIENTE

Um biólogo foi ao campo e contou o número de sapos em 20 locais. Ele também anotou a umidade e a temperatura em cada local. Faça dois gráficos para mostrar a relação do número de sapos com as variáveis temperatura e umidade.

Fonte: Introdução ao uso do programa R, Landeiro V.L., INPA, 2011, pág. 21/80.

A Figura abaixo mostra a solução do problema, com o software R.

Conclusão: os gráficos de dispersão do número de sapos com a temperatura e umidade dos locais onde foram contados, sugerem que há uma correlação maior com a umidade do que com a temperatura, vez que os pontos apresentam mais aderência com a reta de correlação.

A Figura abaixo mostra a correlação matemática entre as variáveis. Inicialmente, pelo simples cálculo do coeficiente de correlação dos sapos com a umidade (r = 0,72 = forte) e com a temperatura (r = - 0,13 = fraca e negativa, ou seja, quanto maior a temperatura, menor o número de sapos). No teste t pareado, com a umidade: valor-p (8*10^-9) < α (0,05) rejeita Ho da diferença entre médias igual a zero, enquanto com a temperatura (p=0,78), aceita Ho. Finalmente, no teste de correlação entre os sapos e a umidade, o valor-p (0,0003) < α (0,05) rejeita a hipótese nula (Ho: correlação igual a zero).

NOTA: Observou que neste post, no gráfico de dispersão, 'Sapo e Temperatura', usei pela segunda vez uma 'expression' do R (na grafia dos graus centígrados) ? A primeira foi no post 'Uma Opinião Pessoal', 7 passos atrás, com o x-barra para identificar a média, num boxplot.

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